Burns fichó a los 13 años del Southend United y formó parte del equipo del City que ganó la FA Youth Cup en 2020, además de ser ganador del título de la Premier League North sub-18 en la misma temporada.
El defensa alto, imponente y maduro, firmó su primer contrato profesional con el City en julio de 2020 y su participación fue clave para ganar la Premier League 2 en la temporada 2020/21.
En septiembre de 2021, el internacional con la selección sub-20 inglesa, debutó con el primer equipo en la victoria del City contra Wycombe (6-1) en un partido de la Carabao Cup, disputando el partido completo.
En enero de 2022, Burns firmó un contrato de larga duración, vinculándolo con el City hasta junio de 2027. Tras firmar se fue cedido as Swansea City para el resto de la temporada 2021/22.
Formó parte del equipo EDS que consiguió el tercer título consecutivo de liga PL2, además de jugar en la UEFA Youth League donde el equipo terminó líder del Grupo G, aunque luego fueron eliminados en los octavos de final contra el Hajduk Split.
Todos en el Manchester City le desean a Finley la mejor de las suertes con el Stevenage esta temporada.